Espacios vectoriales

 Definición:Sea V un conjunto no vacío en el cual se han definido dos operaciones, llamadas suma y multiplicación por escalar (dados los elementos u y v de V y un escalar c de R, la suma de u y v la denotamos u + v y la multiplicación por escalar de c por u la denotamos cu). Si las siguientes propiedades o axiomas se satisfacen para todo u, v y w de V y para todo par de escalares a y b de R, entonces se dice que V es un espacio vectorial real y sus elementos son llamados vectores.

1. u + v ∈ V . Propiedad clausurativa para la suma.
2. u + v = v + u. Propiedad conmutativa para la suma.
3. (u + v) + w = u + (v + w). Propiedad asociativa para la suma.
4. Existe un único elemento 0 ∈ V, tal que u + 0 = u, para todo u ∈ V . Propiedad modulativa para la suma.
5. Para cada u ∈ V, existe un único elemento −u ∈ V, tal que u+(−u) = 0. Existencia del opuesto para la suma.
6. au ∈ V . Propiedad clausurativa para la multiplicación por escalar.
7. a(u + v) = au + av. Propiedad distributiva respecto la suma de vectores.
8. (a + b)u = au + bu. Propiedad distributiva respecto la suma de escalares.
9. a(bu) = (ab)u.
10. 1u = u. 

                                                 Subespacio vectorial

Definición: Sea V un espacio vectorial y sea H un subconjunto de V. Si H es espacio vectorial con los mismos escalares y las mismas operaciones que V, decimos que H es un subespacio de V. 

Para demostrar que un subconjunto de un espacio vectorial es en si mismo un espacio vectorial, no es necesario mostrar que se satisfacen los 10 axiomas; basta con verificar solo dos de los 10 axiomas de la definición, como lo establece el siguiente teorema.

Teorema:

Sea V un espacio vectorial y H un subconjunto no vacío de V. H es un subespacio vectorial de V, si y solo si, los elementos de H satisfacen las propiedades clausurativas para la suma y el producto por escalar (Axiomas1 y 6). Ademas el vector cero debe pertenecer a H. 

En el tema de espacios vectoriales, nos encontramos con tres conceptos muy importantes:

Base:

"Si B es un subconjunto no vacío del espacio vectorial V, diremos que B es una base de V, si y solo si, el conjunto B satisface las siguientes condiciones:

1. B es un conjunto linealmente independiente.
2. B es un conjunto generador de V."

Teorema 1 Existencia de una Base

Todo espacio vectorial, excepto el espacio vectorial trivial V = {0}, tiene al menos una base.

Teorema 2 Caracterización de una Base

Un subconjunto B = {v1, v2, . . . , vn} de un espacio vectorial V es una base de V, si y solo si, para cada vector v de V existen escalares únicos a1, a2, . . . , an tales que v = a1v1 + a2v2 + . . . + anvn.

Teorema 3  Característica Común de las Bases

Todas las bases de un mismo espacio vectorial tienen igual número de elementos.

Dimensión: 

Si las bases de un espacio vectorial V tienen n elementos, diremos que la dimensión de V es n, lo que expresaremos como dim(V ) = n.

En caso que V = {0}, por conveniencia, diremos que el espacio vectorial tiene dimensión 0, y en caso que un espacio vectorial no tenga una base finita, diremos que es de dimensión infinita.

Rango:

El rango de una matriz es el número máximo de columnas (filas respectivamente) que son linealmente independientes. El rango fila y el rango columna siempre son iguales: este número es llamado simplemente rango de A. Comúnmente se expresa como rg(A).

El número de columnas independientes de una matriz A de m filas y n columnas es igual a la dimensión del espacio columna de A. También la dimensión del espacio fila determina el rango. El rango de A será, por tanto, un número no negativo, menor o igual que el mínimo entre m y n:

"